PARADOKS PETERSBURSKI - rozwiązanie
Problem polega na oszacowaniu wartości oczekiwanej w grze losowej polegającej rzucaniu monetą do momentu otrzymania orła. Wynikiem (wygraną) takiej gry jest 2^k, gdzie k to ilość rzutów. Stosując typowe metody obliczania wartości oczekiwanej, czyli sumując iloczyny poszczególnych wyników z ich prawdopodobieństwami, otrzymujemy:
Suma ta dąży do nieskończoności - można z tego wysunąć wniosek, że przystępując do tej gry opłaca się postawić dowolną kwotę. Przypuszczam jednak, że nikt, kto taki wniosek wyciąga, nie odważy się postawić wysokich kwot w tej grze. Paradoks polega na tym, że w rzeczywistych doświadczeniach średnia wygrana to ok. 5, co jest wyraźnie mniej od nieskończoności.
Wynika to z faktu, że nieskończona wygrana jest możliwa przy założeniu, że możemy rozegrać nieskończoną ilość gier, dzięki czemu uda się wygrać w końcu taką kwotę, która pokryje wszystkie wcześniejsze straty. W rzeczywistości mamy możliwość rozegrania skończonej ilości gier, a wysokie wygrane są w praktyce niemożliwe, gdyż prawdopodobieństwo ich uzyskania jest zbliżone do 0 (zwykle gra kończy się już po 2 rzutach).
Problem ten jest opisany w Wikipedii, gdzie podane są różne sposoby jego rozwiązania w praktyce. Ja będę się tu głównie opierał na jej anglojęzycznej wersji.
Pierwsze rozwiązanie polega na tzw. teorii oczekiwanej użyteczności polegającej na wprowadzeniu ograniczającej funkcji użyteczności - np. logarytmicznej lub pierwiastkowej. Jest to próba sztucznego ominięcia problemu, podaje różne wyniki w zależności od przyjętej metody i faktyczne go nie rozwiązuje. Podobnie jest w przypadku ważonych prawdopodobieństw.
Innym rozwiązaniem jest tzw. metoda skończonych loterii, która tłumaczona jest ograniczonymi zasobami kasyna, a w związku z tym - maksymalna ilością rzutów. Jeśli np. ustalimy maks. wygraną na 16 - odpowiada to 4 rzutom, czyli log2 16. Wartość oczekiwana wynosi wtedy maks. k +1, czyli 5. Rozwiązanie to ratuje kasyno przed bankructwem, ale nie rozwiązuje naszego paradoksu, nie wyjaśnia jego przyczyn. Jeśli kasyno dysponuje bardzo dużymi pieniędzmi, ustalimy dużą ilość możliwych rzutów, to nadal wygrane będą zwykle znacznie poniżej wartości oczekiwanej.
Moje rozwiązanie:
Najprościej jest przyjąć, że rozgrywamy określoną ilość gier (choćby z powodu ograniczonego czasu). Im więcej prób wykonamy, tym większa szansa na uzyskanie większego wyniku, który pojawia się z małym prawdopodobieństwem. W związku z tym wartość oczekiwana zależna jest od ilości rozegranych gier. Jeśli np. prawdopodobieństwo danego wyniku wynosi 1/16, to można się spodziewać, że aby go uzyskać musimy rozegrać ok. 16 gier. Wynik taki otrzymamy po 4 rzutach, czyli Log2 16, uzyskanie większej wygranej jest mało prawdopodobne. Mamy wtedy sytuację analogiczną jak w metodzie skończonych loterii. Czyli przy założeniu, że rozegramy G gier - wartość oczekiwana wynosi:
E = log2G +1
Wartość ta jest zgodna z symulacjami komputerowymi, jednak stabilne wyniki otrzymujemy dopiero przy ilości gier liczonej w miliardach, średnie otrzymywane z mniejszej ilości gier są wyraźnie "rozrzucone" wokół spodziewanej wartości (zwykle powyżej). Wzór ten jest prawidłowy dla klasycznej wersji tej gry, opartej na funkcji 2^k. Nie przeprowadzałem długich symulacji dla funkcji szybciej rozbiegających, np. 3^k, przypuszczam jednak, że po odpowiedniej modyfikacji można wyprowadzić wzór prawidłowy również dla takich funkcji, jednak stabilne wyniki otrzymamy przy jeszcze większej ilości powtórzeń.
Jest tylko 1 problem - od kiedy liczymy te gry. Bo gdy przychodzimy do kasyna - dla nas granie się zaczyna, ale kasyno gra od dawna. To już pozostawiam do samodzielnego rozwikłania. :)
Komentarze
Prześlij komentarz